A palavra QUE pode exercer inúmeras funções sintáticas. Passamos a exemplificar e explicar a grande maioria delas.

Advérbio

Intensifica adjetivos e advérbios, atuando sintaticamente como adjunto adverbial de intensidade. Tem valor aproximado ao das palavras quão e quanto.
Ex1: Que longe está o meu sonho!
Ex2: Os braços… Oh! Os braços! Que bem-feitos!

Substantivo

Como substantivo, tem o valor de qualquer coisa ou alguma coisa. Nesse caso, é modificado por um artigo, pronome adjetivo ou número, tornando-se monossílabo tónico ( portanto, acentuado). Pode exercer qualquer função sintática substantiva.
Ex: Ela tem um certo quê de mistério que a torna cativante.
Também quando indicamos a décima sexta letra do nosso alfabeto usamos o substantivo quê.
Ex : Mesmo tendo como símbolo kg, a palavra quilo deve ser escrita com quê.

Preposição
Equivale à preposição de ou para, geralmente ligando uma locução verbal com os verbos auxiliares ter e haver. Na realidade, esse QUE é um pronome relativo que o uso consagrou como substituto da preposição de.
Ex1: Tem que combinar? (= de)
Ex2: Amanhã, teremos pouco que fazer no nosso escritório. (= para) Além disso, a partícula QUE atua como preposição quando possui sentido próximo ao de exceto ou salvo.
Ex : Chegou sem outro aviso que o seu silêncio inquietante.

Interjeição
Como interjeição, a palavra QUE (exclamativo) também se torna tónica, devendo ser acentuada. Exprime um sentimento, uma emoção, um estado interior e, equivale a uma frase, não desempenhando função sintática em oração alguma.
Ex1: Quê!? Você por aqui!
Ex2: Quê!? Nunca farei isso!

Partícula expletiva ou de realce
Neste caso, a retirada da palavra QUE não prejudica a estrutura sintática da oração. A sua presença, nestes contextos, é um recurso expressivo, enfático.
Ex1: Quase que ela desmaia!
Ex2: Então qual é que é a verdade? Obs: Deve ser acompanhada pelo verbo ser, formando a locução é que.

Pronome relativo
O pronome relativo refere-se a um termo (por isso mesmo chamado de antecedente), substantivo ou pronome, ao mesmo tempo que serve de conectivo subordinado entre orações. Geralmente, o pronome relativo introduz uma oração subordinada adjetiva, nela desempenhando uma função substantiva. Neste caso, pode ser substituído por qual, o qual, a qual, os quais, as quais.
Ex1: O João amava a Teresa que amava o Raimundo.
Ex2: Às pessoas que eu detesto diga sempre que eu as detesto.

Pronome indefinido substantivo
Quando equivale a que coisa.
Ex: Que caiu?

Pronome indefinido adjetivo
Quando, funcionando com adjunto adnominal, acompanha um substantivo.
Ex1: Que tempo estranho, ora faz frio, ora faz calor.
Ex2: Que vista linda há aqui!

Pronome substantivo interrogativo
Substitui, nas frases da língua, o elemento sobre o qual se deseja resposta, exercendo sempre uma das funções substantivas, significando que coisa.
Ex1: Que terá acontecido? (= que coisa)
Ex2: Que adiantaria a minha presença? (= que coisa)

Pronome adjetivo interrogativo
Acompanha os substantivos nas frases interrogativas, desempenhando função de adjunto adnominal.
Ex1: Que livro estás a ler?
Ex2: «Por aquela que foi tua, que orvalho em teus olhos tomba?» ( Cecília Meireles)
Obs: Caso semelhante ocorre em frases exclamativas. Nesse caso, teríamos um pronome adjetivo exclamativo, sintaticamente atuando como adjunto adnominal.
Ex1: Que poema acabamos de declamar!
Ex2: Meu Deus! Que gelo!

A conjunção QUE
O QUE pode ser conjunção coordenativa ou subordinativa.

– Conjunção coordenativa
Como conjunção coordenativa, a palavra QUE liga orações coordenadas, ou seja, orações sintaticamente equivalentes.

– Aditiva
Liga orações independentes, estabelecendo uma sequência de factos. Neste caso, o QUE não tem valor bastante próximo ao da conjunção e.
Ex1: Anda que anda e nunca chega a lugar algum.
Ex2: Hoje chove que chove!

– Explicativa
A oração coordenada explicativa aponta a razão de se ter feito a declaração contida em outra oração coordenada. Quando introduz esse tipo de oração, o QUE tem valor próximo ao da conjunção pois.
Ex1: Mantenhamo-nos unidos, que a união faz a força.
Ex2: Deixa, que eles pagam o jantar.

– Adversativa

Indica oposição, ressalva, apresentando valor equivalente a mas.

Ex1: Outro, que não eu, teria de fazer aquilo.
Ex2: Outro aluno, que não eu, deveria falar-lhe, professor!

– Conjunção subordinativa
A conjunção QUE é subordinativa quando introduz orações subordinadas substantivas e adverbiais. Essas orações são subordinadas porque desempenham, respectivamente, funções substantivas e adverbiais em outras orações ( chamadas principais ).

– Integrante
O QUE é conjunção subordinativa integrante quando introduz oração subordinada substantiva.
Ex1: «E ao lerem os meus versos pensem que eu sou qualquer coisa natural.»( Alberto Caeiro)
Ex2: Parecia-me que as paredes tinham vulto.

– Causal
Introduz as orações adverbiais causais, possuindo valor próximo a porque.
Ex1: Fugimos todos, que a maré estava brava.
Ex2: Não esperaria mais, que elas podiam voar.

– Final
Introduz orações subordinadas adverbiais finais, equivalendo a para que, a fim de que.
Ex: Todos lhe fizeram sinal que se calasse.
– Consecutiva
Introduz as orações subordinadas adverbiais consecutivas.
Ex1: A minha sensação de prazer foi tal que venceu a de espanto.
Ex2: «Apertados no balanço Margarida e Serafim Se beijam com tanto ardor Que acabam ficando assim.» ( Millôr Fernandes)

– Comparativa
Introduz orações subordinadas adverbiais comparativas.
Ex1: Eu sou maior do que os vermes e todos os animais.
Ex2: As poltronas eram muito mais frágeis do que o divã.

– Concessiva
Introduz orações subordinada adverbial concessiva, equivalente a embora.
Ex1: Que nos tirem o direito ao voto, continuaremos a lutar.
Ex2: Estude, menino, um pouco que seja!

– Temporal
Introduz oração subordinada adverbial temporal, tendo valor aproximado ao de desde que.
Ex1: «Porém já cinco sóis eram passados que dali nos partíramos.» ( Camões)
Ex2: Agora que a lâmpada acendeu, podemos ver tudo.